கட்டமைப்பியல்

டோபாலஜி, கணிதத்தின் கிளை, சில நேரங்களில் "ரப்பர் தாள் வடிவியல்" என்று குறிப்பிடப்படுகிறது, இதில் இரண்டு பொருள்கள் தொடர்ச்சியாக ஒருவருக்கொருவர் சிதைக்கப்படுமானால் அவை சமமாக கருதப்படுகின்றன, அவை விண்வெளியில் வளைவுகள், முறுக்குதல், நீட்சி மற்றும் சுருங்குதல் போன்றவை அல்லது பகுதிகளை ஒன்றாக ஒட்டுதல். இடவியலில் ஆர்வத்தின் முக்கிய தலைப்புகள் இத்தகைய தொடர்ச்சியான சிதைவுகளால் மாறாமல் இருக்கும் பண்புகள். இடவியல், வடிவவியலுடன் ஒத்ததாக இருந்தாலும், அந்த வடிவியல் ரீதியாக சமமான பொருள்களில் வடிவவியலில் இருந்து வேறுபடுகிறது, அவை பெரும்பாலும் நீளம் அல்லது கோணங்கள் போன்ற எண்ணிக்கையில் அளவிடப்பட்ட அளவுகளைப் பகிர்ந்து கொள்கின்றன, அதே சமயம் இடவியல் ரீதியாக சமமான பொருள்கள் ஒருவருக்கொருவர் மிகவும் தரமான அர்த்தத்தில் ஒத்திருக்கின்றன.

சுருக்க பொருள்களைக் கையாளும் இடவியலின் பரப்பளவு பொது, அல்லது புள்ளி-தொகுப்பு, இடவியல் என குறிப்பிடப்படுகிறது. இயற்கையான இடவியல் இயற்கணித இடவியல் எனப்படும் இடவியலின் மற்றொரு முக்கியமான பகுதியுடன் ஒன்றுடன் ஒன்று மேலெழுகிறது. நிபுணத்துவத்தின் இந்த பகுதிகள் அதன் ஒப்பீட்டளவில் நவீன வரலாற்றில் வளர்ந்த இடவியலின் இரண்டு முக்கிய துணைப்பிரிவுகளை உருவாக்குகின்றன.

பொது இடவியலின் அடிப்படை கருத்துக்கள்

வெறுமனே இணைக்கப்பட்டுள்ளது

சில சந்தர்ப்பங்களில், இடவியலில் கருதப்படும் பொருள்கள் மூன்று (அல்லது கீழ்) பரிமாண இடத்தில் வசிக்கும் சாதாரண பொருள்கள். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு விமானத்தில் ஒரு எளிய வளையமும் ஒரு விமானத்தில் ஒரு சதுரத்தின் எல்லை விளிம்பும் இடவியல் ரீதியாக சமமானவை, சதுரத்தைச் சுற்றி இறுக்கமாகப் பொருந்தும் வகையில் நீட்டிக்கக்கூடிய ஒரு ரப்பர் பேண்டாக வளையத்தை கற்பனை செய்வதன் மூலம் காணலாம். மறுபுறம், ஒரு கோளத்தின் மேற்பரப்பு ஒரு டோரஸுக்கு இடவியல் ரீதியாக சமமானதல்ல, திடமான டோனட் வளையத்தின் மேற்பரப்பு. இதைப் பார்க்க, ஒரு நிலையான கோளத்தில் கிடக்கும் எந்த சிறிய வளையமும் தொடர்ச்சியாக சுருங்கக்கூடும், கோளத்தில் வைக்கப்படும் போது, ​​எந்தவொரு தன்னிச்சையாகவும் சிறிய விட்டம் வரை. இந்த சொத்தை வைத்திருக்கும் ஒரு பொருள் வெறுமனே இணைக்கப்பட்டதாகக் கூறப்படுகிறது, மேலும் வெறுமனே இணைக்கப்பட்டுள்ள சொத்து உண்மையில் தொடர்ச்சியான சிதைவின் கீழ் தக்கவைக்கப்பட்ட ஒரு சொத்து. இருப்பினும், ஒரு டோரஸில் சில சுழல்களை சுருக்க முடியாது,படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி.

Many results of topology involve objects as simple as those mentioned above. The importance of topology as a branch of mathematics, however, arises from its more general consideration of objects contained in higher-dimensional spaces or even abstract objects that are sets of elements of a very general nature. To facilitate this generalization, the notion of topological equivalence must be clarified.

Topological equivalence

The motions associated with a continuous deformation from one object to another occur in the context of some surrounding space, called the ambient space of the deformation. When a continuous deformation from one object to another can be performed in a particular ambient space, the two objects are said to be isotopic with respect to that space. For example, consider an object that consists of a circle and an isolated point inside the circle. Let a second object consist of a circle and an isolated point outside the circle, but in the same plane as the circle. In a two-dimensional ambient space these two objects cannot be continuously deformed into each other because it would require cutting the circles open to allow the isolated points to pass through. However, if three-dimensional space serves as the ambient space, a continuous deformation can be performed—simply lift the isolated point out of the plane and reinsert it on the other side of the circle to accomplish the task. Thus, these two objects are isotopic with respect to three-dimensional space, but they are not isotopic with respect to two-dimensional space.

The notion of objects being isotopic with respect to a larger ambient space provides a definition of extrinsic topological equivalence, in the sense that the space in which the objects are embedded plays a role. The example above motivates some interesting and entertaining extensions. One might imagine a pebble trapped inside a spherical shell. In three-dimensional space the pebble cannot be removed without cutting a hole through the shell, but by adding an abstract fourth dimension it can be removed without any such surgery. Similarly, a closed loop of rope that is tied as a trefoil, or overhand, knot (see figure) in three-dimensional space can be untied in an abstract four-dimensional space.